الأعداد المنطقة

لنأخذ برنامجا -برنامج حاسب إلكتروني- ما: مثلا برنامج استعراض منتدى (نت سكيب أو إنترنت إكسبلورر أو أيا كان). نلاحظ أن هذا البرنامج لا يتوقف إلا عندما يقوم المستخدم بتوقيفه.
لكن هناك برامج من نوع آخر، مثلا تعليمة dir في نظام دوس، فهي تعرض مجموع الملفات الموجودة عندك ثم تتوقف.

فنصل لاستنتاج بسيط: تنقسم البرامج لنوعين: منها البرامج التي تتوقف من تلقاء ذاتها بعد زمن يطول أو يقصر، و منها البرامج التي لا تتوقف من تلقاء ذاتها.

فنطرح سؤالا: لنأخذ برنامجا لا على التعيين، ما هو احتمال توقفه من تلقاء نفسه؟
طبعا كلمة "برنامج لا على التعيين" اقصد بها: أي برنامج موجود أو يمكن أن يوجد أو حتى يمكن تخيله.

جواب بسيط: احتمال توقف البرنامج هو "أوميغا"

طيب سؤال بسيط ثاني: كم تبلغ هذه الأوميغا العجيبة؟
جواب بسيط ثاني: لا أنا، و لا أنتم، و لا مجموع الحواسب الموجودة على الأرض، و لا حتى لو تحول كل إلكترون في الكون لحاسب إلكتروني و اشتغلوا جميعا متعاونين، ليس هناك من يستطيع معرفة أي رقم من أوميغا... باستثناء الرقم الموجود قبل الفاصلة (و هو صفر، يعني أن أوميغا يساوي "صفر فاصلة شي شغلة"، ذلك أن العدد أوميغا، نظرا لكونه احتمالا، فهو يتراوح بين الصفر و الواحد).

و لم ذلك؟
لسبب بسيط يا سيدي: لأن أوميغا ينتمي لمجموعة الأعداد "غير الحسوبة"...
غير الشو؟
غير الحسوبة: ذلك أن الأعداد الحقيقية تنقسم لقسمين: فمنها ما يمكن حسابه -بتقريب معقول، فهو حسوب...
و منها ما يستحيل الحصول على أية قيمة تقريبية له: إنه غير حسوب!

و لكن قبل الحديث عن الأعداد غير الحسوبة، يليق بنا أن نبدأ من البداية فنتحدث عن الأعداد المنطقة، و الجبرية، و المتسامية...
فتزودوا بالشجاعة و اتبعوني كي ننظر لمجموعة الأعداد الحقيقية.

إذن...

نعود للبداية: تعرف إيه عن الأعداد الحقيقية يا بهجت يا أباصيري؟
الأعداد الحقيقية هي مجموعة الأعداد التي تمثل بعد نقاط المستقيم عن نقطة ما على هذا المستقيم.
تنقسم الأعداد الحقيقية لقسمين -لعن الله الثلاثة: الأعداد المنطقة (يتشديد الطاء) و الأعداد غير المنطقة.
الأعداد المنطقة هي الأعداد التي يمكن النطق بها: يعني من نوع الأعداد الصحيحة (واحد، اثنين، ناقص واحد، إلخ)، و الأعداد الكسرية (نصف، ثلث، اثنين على خمسة).
و الأعداد غير المنطقة هي الأعداد التي لا يمكن الإنتهاء أبدا من "نطقها" لأنها لا يمكن أن تكتب بشكل كسر أو بشكل عدد صحيح.
أقدم الأعداد غير المنطقة التي تم اكتشافها هو الجذر التربيعي للعدد 2. و قد عرضت عليكم على هذا الرابط كيف قام الفيثاغورسيون ببرهان وجوده و استحالة كتابته بشكل كسري.

الأعداد المنطقة، اي الكسرية، حين تكتب بشكل عشري، فإن الجزء الذي يلي الفاصلة يكون إما منتهيا، أو دوريا (تمرين: حاول البرهان على هذه النظرية بتخيل كيف تتم عملية القسمة *).
مثلا: العدد (1 على 2) يكتب بشكل منته كما يلي: 0.5
بالمقابل فالعدد (5 على 7) يكتب بشكل دوري كما يلي: 0,714285714285714285714285714285etc

و منه، فمن أسهل ما يمكن أن نعرف عددا غير منطق: يكفي أن نتخيل عددا عشريا جزؤه العشري لا هو منته، و لا هو دوار. هاكم مثالا:
0.101001000100001etc
أي: سلسلة لانهائية من الواحدات تفصل بينها كمية لا تنفك تزداد من الأصفار.

سين سؤال: أيهما "أكثر عددا": الأعداد المنطقة أم الأعداد غير المنطقة؟
جيم جواب: الأعداد غير المنطقة أكثر بما لا يقاس من الأعداد المنطقة. البرهان على ذلك بسيط: الأعداد المنطقة تمكن كتابتها (و نطقها) بواسطة عددين صحيحين (صورة الكسر و مخرجه)، في حين أن الأعداد غير المنطقة تكتب بشكل سلاسل لانهائية من الأرقام. و منه: مجموعة الأعداد المنطقة تقابل جداء مجموعة الأعداء الصحيحة بنفسها، في حين تمثل مجموعة الأعداد غير المنطقة جداء مجموعة الأعداد الصحيحة بنفسها عددا لا نهائيا من المرات.
(أكثر من ذلك: مجموعة الأعداد المنطقة تقابل مجموعة الأعداد الصحيحة، تقابل مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة، تقابل مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة الزوجية إلخ... تمرين: برهن صحة ذلك **)

فلو تخيلنا مستقيم الأعداد الحقيقية بشكل عصا، ثم تخيلنا جراحا ماهرا يأتي بمشرطه فيستأصل كافة الأعداد المنطقة من هذه العصا... لما تغيرت هيئة العصا إطلاقا.

رياضيا يعبر عن هذا الكلام بالقول: مجموعة الأعداد المنطقة هي مجموعة ذات قياس معدوم...

فلنا عودة...

--------------------
(*) البرهان: ليكن العدد الكسري (م مقسوما على ن)، فلكتابته بشكل عشري نأخذ حاصل قسمة م على ن ثم نكتب فاصلة ثم نأخذ باقي قسمة م على ن، نقسمه مجددا على ن و نكتب حاصل القسمة بعد الفاصلة، ثم نأخذ باقي القسمة الجديد و نقسمه على ن، و هكذا.
بواقي هذه القسمات لها خياران: إما أن يكون واحدها صفرا، فتنتهي عملية القسمة، فيكون الجزء العشري منتهيا، أو أن لا يكون أي منها صفرا، فتكون قيمها تتراوح بين 1 و (ن - 1)، و منه، فلدى تكرار العملية ن مرة، سنعود حتما لقيمة سابقة، فتتكرر سلسلة الأرقام التي حصلنا عليها.

(**)البرهان:
1- مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة تقابل مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة الزوجية: ليكن التابع ن --> 2 * ن، من الواضح أن هذا التابع هو تقابل.
2- مجموعة الأعداد الصحيحة تقابل مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة: لنكتب مجموعة الأعداد الصحيحة كما يلي:
0، 1، -1، 2، -2، 3، -3 إلخ...
و نرقم كل من هذه الأعداد برقم ترتيب وروده... 1، 2، 3، 4، إلخ... فنلاحظ التقابل.
3- مجموعة الأعداد المنطقة تقابل مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة: نعتبر أن كافة الأعداد المنطقة هي أعداد كسرية (الأعداد الصحيحة هي كسور مخرجها يساوي الواحد). سنعتبر في مرحلة أولى الكسور الموجبة فقط.
في الشكل المرفق نوضح كيف يمكن ترتيبها (اتبع الخط الأحمر). فإذا رقمنا هذه الأعداد بالأرقام الزوجية (2، 4، 6، إلخ)، نكون قد أنشأنا تقابلا بين المجموعتين، ثم إننا نرقم الأعداد السالبة بالأرقام الفردية اعتبارا من 3، و نحتفظ بالرقم 1 للعدد 0. فنكون قد أنشأنا تقابلا هو كما يلي (كل عدد يقابل ترتيبه):
0، 1/1، -1/1، 2/1، -2/1، 1/2، -1/2....