دخول المستخدم
آخر الأخبار
ما سأكتبه الآن هو ملخص شديد التلخيص لهذا الفضاء الطبولوجي. و أما من
شاء الإستزادة فما عليه إلا أن يقوقل كلمة "p-adique" (البيعاديك )...
لنبدا من البداية: حين كنا في المدرسة الإبتدائية تعلمنا تحليل الأعداد
لعواملها الأولية، فكنا نكتب مثلا:
12 = 2 * 2 * 3
8 = 2 * 2 * 2
و منه فإنني سأعرف "قوة العدد الأولي فلان ضمن العدد علان" بأنها عدد
مرات ظهور العدد الأولي فلان لدى تحليل العدد علان لعوامله الأولية. و
منه يمكننا أن نكتب:
قوة 2 ضمن 12 هي 2.
قوة 3 ضمن 12 هي 1.
(و أيضا: قوة 5 ضمن 12 هي صفر).
و أيضا:
قوة 2 ضمن 8 هي 3.
قوة 3 (أو 5 أو 7 أو إلخ) ضمن 8 هي صفر...
فنعرف طويلة أي عدد باعتبار العدد الأولي فلان بأنها تساوي "مقلوب
(العدد الأولي فلان مرفوعا لقوته ضمن العدد علان)"
و نعرف طويلة الصفر بأنها تساوي الصفر.
أي أن هذه الطويلة تعرف استنادا لعدد أولي ما...
مثلا، باعتبار العدد الأولي 2 نجد:
طويلة 12 = 1/ (2 للقوة 2) = ربع.
طويلة 8 = 1/ (2 للقوة 3) = ثمن...
و باعتبار العدد الأولي 3 نجد:
طويلة 12 = 1/ (3 قوة 1) = ثلث.
طويلة 8 = 1/ (3 قوة صفر) = 1.
و منه نصل لتعريف البعد البيعاديكي (بالنسبة لعدد أولي ما) فنقول:
البعد البيعاديكي بين عددين يساوي طويلة القيمة المطلقة للفرق
بينهما...
مثلا، ليكن العددان 12 و 8، فالبعد البيعاديكي بينهما باعتبار العدد
الأولي 2 هو الطويلة البيعاديكية (باعتبار العدد الأولي 2) للعدد 4،
يعني هو 1/ (2 قوة 2) = ربع...
و أما البعد البيعاديكي بينهما باعتبار العدد الأولي 3 فهو يساوي
الطويلة البيعاديكية للعدد 4 (باعتبار العدد الأولي 3) = 1/ (3 قوة
صفر) = 1 (*)
هذا البعد البيعاديكي هو أولا بعد، ثانيا هو بعد فوق متري، و هو يعطينا
طبولوجيا فوق مترية على مجموعة الأعداد الصحيحة.
يمكننا تعميم هذه الطبولوجيا على مجموعة الأعداد المنطقة باعتبار أن
الطويلة البيعاديكية لعدد منطق تساوي البعد البيعاديكي بين القيمتين
المطلقتين لصورته و لمخرجه (استنتج أن قيمتها لا تتغير إن غيرنا كتابة
العدد، يعني أن الطويلة البيعاديكية للعدد نصف هي نفس الطويلة
البيعاديكية للعدد ربعين)... و منه تعريف البعد البيعاديكي بين عددين
منطقين (= الطويلة البيعاديكية للقيمة المطلقة للفرق بينهما)...
هذه الطبولوجيا على مجموعة الأعداد المنطقة هي طبولوجيا فوق مترية...
و يمكننا في ظل هذه الطبولوجيا أن نكمل فضاء مجموعة الأعداد المنطقة كي
نحصل على فضاء طبولوجي تتقارب فيه كافة المتواليات الكوشية. هذا الفضاء
هو فضاء مختلف عن مجموعة الأعداد الحقيقية، و هناك نظرية (مثبتة طبعا)
تقول أن أي تكميل لمجموعة الأعداد المنطقة تعطينا فضاء متقابلا تشاكليا
مع المستقيم الحقيقي أو مع تكميل مجموعة الأعداد المنطقة في ظل بعد
بيعاديكي، و لا حالة ثالثة...
هذا الفضاء البيعاديكي له استخداماته في ميكانيك الكم، في نظرية
الإحتمالات، و في غير ذلك...
آمل أن أكون قد أنجزت؟
انتهى.
----------------------
توضيح:
تكن مجموعة الأعداد المنطقة مع الطبولوجيا الإقليدية المعتادة... و
لنأخذ مجموعة جزئية منها... و لنأخذ لصاقة هذه المجموعة ضمن الفضاء
بتاعنا، يعني ضمن Q...
لنفترض الأن متوالية ضمن مجموعتنا الجزئية، و لنفترض أنها متقاربة ضمن
الفضاء الكلي -مجموعة الأعداد المنطقة- فنستنتج بداهة -وفقا لنظرية لم
و لن نبرهنها- أنها متقاربة ضمن اللصاقة...
و لكن، و كما لا يخفاك الأمر، فهذه اللصاقة ليست كاملة، ذلك أن الفضاء
الكلي، بأمه و أبيه، ليس كاملا!
هذا الكلام ليس دقيقا...
إن أخذنا مجموعة جزئية من Q تتألف من نقطة واحدة... فهي بداهة فضاء
كامل...
لا بل أي مجموعة تتألف من عدد منته من النقاط... هي فضاء كامل...
بل حتى المجموعة الجزئية التي تتألف من مجموعة الأعداد الصحيحة و هي
مجموعة غير منتهية، هي فضاء كامل...
ذلك أن كافة هذه المجموعات تمثل فضاء متقطعا و المتواليات المتقاربة
فيه هي المتواليات الثابتة، اعتبارا من حد معين...
ما كنت أقصده بكلامي عن مجموعة جزئية هو، وضوحا، مجموعة "حرزانة"...
يعني مجموعة تحتوي مجالا ما من الأعداد المنطقة... يعني مثلا مجموعة
الأعداد المنطقة التي تتراوح بين 0 و 1... مثلا.
