دخول المستخدم
آخر الأخبار
فأضيف أبسط نظريات الطبولوجيا...
قلنا أن الطبولوجيا هي "مجموعة مجموعات جزئية". نسمي هذه المجموعات
"المجموعات المفتوحة"، حركم بربي؟ أنا قررت أن سوف سأسميها مجموعات
"مفتوحة"!
(وضوحا التسمية مشتقة من حالة "المجالات المفتوحة" على المستقيم
الحقيقي، فالمجموعات المفتوحة هي تعميم لهذه الفكرة في حالة الفضاءات
الطبولوجية العامة)...
و لكن... يعني طالما توجد مجموعات مفتوحة، أوليس يستحسن أن توجد
مجموعات مغلقة؟
تماما! و نعرف المجموعة المغلقة كما يلي:
تكون مجموعة مغلقة إذا كانت متممتها مجموعة مفتوحة.
يعني: ليكن الفضاء الطبولوجي (ف، ط)، حيث "ف" هي المجموعة الكلية، و
"ط" هي الطبولوجيا.
فتكون المجموعة "س" هي مجموعة مغلقة إذا و فقط إذا وجدت مجموعة مفتوحة
"ع" بحيث أن: تقاطع "س" و "ع" هو المجموعة الخالية، و اجتماعهما هو
المجموعة الكلية "ف"،
أو بصيغة أخرى مطابقة:
المجموعة "س" مغلقة إذا و فقط إذا وجدت "ع" تنتمي ل "ط" بحيث: ف - ع =
س.
و هاكم أبسط نظريات الطنبولوجيا:
برهن، إذا سمحت و إذا ما فيها إزعاج يعني:
- المجموعة الكلية مغلقة.
- المجموعة الخالية مغلقة.
- تقاطع أي كوشة مغلقات مغلقة.
- اجتماع أي عدد منته من المغلقات مغلقة.
و هذه النظرية على بساطتها تتضمن جانبا هاما و ممتعا: وفقا لتعريف
الطبولوجيا (الشرطين الأول و الثاني) فكل من المجموعة الكلية و
المجموعة الخالية مفتوحتان، و وفقا لتعريف المجموعة المغلقة فكل منهما
مغلقتان (السبب شبه بديهي: متممة المجموعة الكلية هي المجموعة الخالية،
و منه فمتتمة كل منهما مفتوحة، و منه فكل منهما مغلقة).
فنلاحظ مباشرة إمكانية وجود مجموعات تكون مفتوحة و مغلقة في آن معا. و
منه ضرورة الإبتعاد أحيانا عن التمثيل "البرتقالي" للطبولوجيا: يعني في
الطبولوجيا يمكن لنا دوما أن نجد برتقالة مقشرة و تحتفظ بقشرها في آن
معا...
لكن الطبولوجيا هي أولا و قبل كل شيء دراسة المجموعات المفتوحة، فلماذا
يا هل ترى؟
يتبع...
