قصة الهندسة-8

بعد البراهين أعلاه، سأعتمد صيغتين "عمليتين" لمسلمة إقليدس: الأولى هي مسلمة بلايفير (من نقطة خارج مستقيم يمكن إنشاء مواز واحد لهذا المستقيم) و الثانية هي مسلمة ساكيري (مجموع زوايا المثلث يساوي قائمتين).

و من ناحية أخرى، ففي كل البراهين التالية سنعتمد نظريات الهندسة "المطلقة" التي أوردناها في المقال السابق، و بشكل خاص التوطئة 3 و التوطئة 8.

تعتبر مسلمة الجوهري من أبسط المكافئات لمسلمة إقليدس، فهي تقول: من نقطة داخل زاوية يمكن رسم مستقيم يقطع ضلعي الزاوية. القبول بهذه الفرضية كاف لبرهان مسلمة إقليدس، و إليكم كيف نقوم بذلك:
لنفترض أن لدينا زاوية رأسها ب كما في الشكل التالي:

لتكن لدينا النقطة ن واقعة داخل الزاوية، سنرسم الخط الذي يقطع ضلعي الزاوية في جـ ، د. كل ما يلزمنا هو أن نبرهن أن مجموع زوايا هذا المثلث هو قائمتين (راجع التوطئتين 3 و 8 أعلاه).
لأجل برهان ذلك سنفترض العكس، يعني نفترض أن مجموع زوايا هذا المثلث أقل من قائمتين بمقدار ما، نسميه يه.
إن رمزنا للمقدار "زاويتين قائمتين" بالرمز "بي"، نعبر عن فرضنا هذا كما يلي:
ب + جـ + د = بي - يه
كل ما يلزمنا هو برهان استحالة هذه المعادلة. و لأجل ذلك سنقوم بإنشاء مثلث آخر، ب و ز، و سنبرهن أن مجموع زوايا هذا المثلث الجديد أقل من بي - 2 * يه، أي أن الفرق مع قائمتين تضاعف.
إن تمكنا من برهان ذلك، نستنتج أن بإمكاننا تكرار هذا العمل عددا من المرات حتى نحصل على مثلث مجموع زواياه سالب، و نظرا لكون هذا مستحيل نرفض فرضنا الأول (مجموع زوايا المثلث أقل من قائمتين)، فنكون قد برهنا أن مجموع زوايا المثلث قائمتين (تذكر التوطئة 3 أعلاه)، و هي المسلمة الخامسة المطلوبة.

إذن: كل ما يلزمنا هو دراسة الفرض: ب + جـ + د = بي - يه
لننظر للمستقيم د جـ الذي يحمل ن. لتكن م منتصفه، اي: م د = جـ م.
لنرسم المستقيم ب م و لنمدده بطول يساويه، حتى النقطة هـ ، يعني هـ م = م ب.
نبرهن ببساطة تساوي المثلثين المرسومين بالأخضر الفستقي.
كما نبرهن تساوي المثلثين المرسومين بالأزرق السماوي.
و منه نستنتج تساوي الزاويتين المرسومتين بالأزرق.
و الزاويتين المرسومتين بالأصفر.
و الزاويتين المرسوم ضمنهما صليبان برتقاليان.

النقطة هـ تقع ضمن زاويتنا، و منه يمكن رسم مستقيم يقطع ضلعي الزاوية في النقطتين و، ز.
وضوحا، مجموع زوايا المثلث الجديد ب و ز = ب + و + ز (مساواة 1)
لمعرفة الزاوية ز، ننظر للمثلث ز هـ د، و مجموع زواياه اعتمادا على التوطئة 3 هو أقل من بي بمقدار ما، سنسميه س، فنكتب:
ز + زهـ د + هـ د ز = بي - س (مساواة 2)
لكن الزاوية هـ د ز تقع على المستقيم ز ب (مش كلمة وسخة)، و منه نستنتج أنها تساوي زاوية مستقيمة مطروح منها الزاوية المرسومة بالأزرق و تلك التي تتضمن صليبا برتقاليا... و هما الزاويتين د، جـ في مثلثنا الأصلي...
يعني: هـ د ز = بي - د - جـ (مساواة 3).
نعوض في المساواة 2 باستخدام المساواة 3 فنحصل على ما يلي:
ز + زهـ د + بي - د - جـ = بي - س
و منه: ز = د + جـ - س - زهـ د (مساواة 4).
نجري نفس المحاكمة فيما يخص الزاوية و بافتراض أن مجموع زوايا المثلث و جـ هـ هو بي - ع، فنحصل على:
و = د + جـ - ع - وهـ جـ (مساواة 5).
نستخدم المساواتين 4 و 5 للتعويض في المساواة 1 فنحصل على:
مجموع زوايا المثلث الجديد ب و ز = ب + د + جـ - ع - وهـ جـ + د + جـ - س - زهـ د
أي مجموع زوايا المثلث الجديد ب و ز = ب + د + جـ - ع + د + جـ - س - ( وهـ جـ + زهـ د) (مساواة 6)

أخيرا، ننظر للنقطة هـ الواقهة على المستقيم وز فنلاحظ أن مجموع الزاويتين وهـ جـ ، زهـ د هو بي مطروحا منه الزاوية الصفراء، و هي الزاوية ب في مثلثنا الأصلي، أي:
وهـ جـ + زهـ د = بي - ب (مساواة 7).
نستخدم المساواة 7 للتعويض في المساواة 6 فنحصل على:
مجموع زوايا المثلث الجديد ب و ز = ب + د + جـ - ع + د + جـ - س - بي + ب
= ب + د + جـ + ب + د + جـ - بي - س - ع
= 2 * (ب + د + جـ) - بي - س - ع (مساواة 8)
نستخدم الفرض ب + جـ + د = بي - يه للتعويض في المساواة 8 فنحصل على:
مجموع زوايا المثلث الجديد ب و ز = 2 * ( بي - يه) - بي - س -ع = بي - 2 * يه - س - ع.
حتى من دون اعتبار المقدارين س، ع، فمجموع زوايا المثلث الجديد ينقص عن قائمتين بضعف ما ينقص به المثلث السابق... هذا يعني أننا إن كررنا نفس الإنشاء السابق مرة ثانثة (نسمي النقطة هـ ن-فتحة، و نبحث عن النقطة م-فتحة التي تنصف الضلع زو) فسنحصل على مثلث يقل مجموع زواياه عن قائمتين بمقدار 4 يه، و بتكرار الإنشاء عددا كافيا من المرات سنحصل على مثلث مجموع زواياه سالب، و هذا مستحيل.
فنرفض فرضنا، و منه نستنتج أن مجموع زوايا المثلث يساوي قائمتين.

مسلمة غوص.
تقول مسلمة غوص: يمكن إنشاء مثلثات كبيرة.

هذا يكفي لبرهان مسلمة إقليدس... ليكن لدينا مثلث ما، لنقبل مسلمة غوص و لنبرهن مسلمة إقليدس...
لنفترض جدلا أن مجموع زوايا هذا المثلث أقل من قائمتين بمقدار يه. لنرسم على كل من أضلاع المثلث مثلثا مطابقا له، و لنمدد كل الأضلاع الخارجية حتى تتقاطع في مثلث كبير، كما في الشكل.

قم بحسابات مملة و مماثلة للحسابات أعلاه و استنتج أن مجموع زوايا المثلث الجديد يقل عن قائمتين بضعف القيمة يه، و استنتج المطلوب بنفس الطريقة أعلاه...

سأتوقف هنا عن إعطاء البراهين و سأعود في المقال المقبل لطرح نموذجين (متكافئين) لهندسة لوباتشيفسكي.