نشأ حساب التكامل(1) في مناظرة جرت في القرن السابع عشر
وكان لها طابع ديني بقدر ما كان لها طابع علمي.

<A. ألكساندر>

 باختصار

  في القرن السابع عشر، افترض عـالم الرياضيات الإيطالي <B. كاڤالييري> أن كل مستوٍ مؤلف من عدد غير منته من المستقيمات، وأن كل جسم مؤلف من عدد غير منته من المستويات. وقال <كاڤالييري>: «إن جميع هذه الأشياء غير القسومة indivisibles يمكن استعمالها لحساب الطول والمساحة والحجم - وهذه خطوة مهمة في طريق الحساب التكاملي integral calculus الحديث.»

  أما عالم الرياضيات السويسري <P. گولدن> وهو معاصر لـ<كاڤالييري>، فكان معارضا عنيفا لهذه الفكرة، وقد انتقد فكرة الأشياء غير القسومة بأنها غير منطقية. بيد أن الرجلين حاجّ كل منهما الآخر في إبداء مزيد من المسوغات الرياضياتية الصرفة.

  لقد كانا عضوين في فرقتين دينيتين وكانت تهجئتا اسميهما متشابهتين، لكن فلسفتيهما كانتا مختلفتين جدا، إذ كان <گولدن> جزويتيا Jesuit وكان <كاڤالييري> جزواتيا Jesuat. وكان الأول يؤمن باستعمال الرياضيات لفرض بنية منطقية صارمة على عالم شواشيٍّ chaotic، في حين كان الثاني أكثر اهتماما باتباع حدسه لفهم العالم بكل ما فيه من تعقيدات.

تعليق هيئة التحرير: يتعلم عدد كبير جدا من الطلبة مادة حساب التكامل integral calculus - وهو فرع من علم الرياضيات يُعنى بإيجاد طول شيء أو مساحته أو حجمه، وذلك بتقسيمه إلى قطع صغيرة ثم جمعها معا. وما تدركه قلة من الناس هو أن حساب التكامل هذا نشأ جزئيا، في حوار جرى بين اثنين من علماء القرن السابع عشر. ففي عام 1635، صَرّح عالم الرياضيات الإيطالي <B. كاڤالييري> أن كل مستوٍ يتألف من عدد غير منته من المستقيمات المتوازية، وأن أيَّ جسم هو مكوّنٌ من عدد غير منته من المستويات. وقد صارت طريقة الأشياء غير القسومة(2) method of indivisibles التي ابتكرها <كاڤالييري> موقع الريادة في حساب التكامل - لكن ذلك لم يحدث قبل صموده أمام الهجمات التي شنّها عليه عالم الرياضيات السويسري <P. گولدن> متعللا بأسباب تجريبية على ما يبدو. وقد وجد <A. ألكساندر> [من جامعة كاليفورنيا في لوس أنجلس] قدرا أكبر من الدوافع الشخصية لهذا النزاع. وفي هذا السرد المعدّل لفصل من كتابه الذي سيُنشر قريبا، يَذْكُر <ألكساندر> أن <گولدن> و<كاڤالييري> كانا ينتميان إلى فرقتين كاثوليكيتين مختلفتين(3)، لذا كان لهما رأيان متعارضان في طريقة استخدام الرياضيات لفهم طبيعة الحقيقة.
 

إن النقد، الذي وجّهـه <P. گـولدن> إلى طـريقة الأشيـاء غير القسومـة التي جاد بها <B. كاڤالييري>، محتوى في الكتاب الرابع من مؤلفه بعنوان De Centro Gravitatis (الذي يسمى أيضا Centrobaryca) المنشور عام 1641. وكان <گولدن> يحاج في أن براهين <كاڤالييري> ليست بناءة، وأنها من النوع الذي تستسيغه الرياضيات التقليدية فقط. وكان هذا صحيحا دون ريب: ففي الطريقة التي تسلكها الرياضيات الإقليدية التقليدية، كان إنشاء الأشكال الهندسية يُجرى تدريجيا من البسيط إلى المركب، بالاستعانة بمسطرة وفرجار فقط لرسم المستقيمات والدوائر. وكانت كل خطوة في برهانٍ مـا تتطلـب مثل هـذا الإنشاء، الذي يعقـبه اسـتنتاج للاقتـضاءات المنطقية للشكـل الحاصل. بيـد أن <كاڤـاليـيـري> سـلـك طريـقـة عكسية، إذ بدأ بالأشكال الهندسية الجاهزة، كالقطوع المكافئة(4) واللوالب(5) وغيرهما. وبعد ذلك قَسّمها إلى عدد غير منته من الأجزاء. ويمكن أن يُنْعَت هذا الإجراء بأنه هَدْم deconstruction، وهذا يناقض الإنشاء construction، الذي لا يسعى إلى رسم شكل هندسي مترابط منطقيا، بل إلى حل شيفرة decipher البنية الداخلية لشكل هندسي موجود.
 

بعد ذلك، انتقل <گولدن> إلى الأساس الذي بُنيت عليه طريقة <كاڤالييري>، وهو فكرة أن المستوي مكوّن من عدد غير منته من المستقيمات، أو أن الجسم الثلاثي الأبعاد مكوّن من عدد غير منته من المستويات. فقد أَصرّ <گولدن> على أن هذه الفكرة كلها هراء؛ وعبّر عن ذلك بقوله: «لا وجود لمتخصص في علم الهندسة يمكن أن يوافق <كاڤالييري> على أن السطح هو جميع مستقيمات شكله، ثم إنه لا يمكن أن يكون هذا الوصف للسطح قد صِيغ بلغة هندسية.»
 

وبعبارة أخرى، لما كانت المستقيمات لا عرض لها، فإن وضع أي عدد منها جنبا إلى جنب لن يغطي حتى أصغر مستوٍ. لذا، فإن محاولة <كاڤالييري> حساب مساحة شكل مستوٍ انطلاقا من أبعاد «جميع مستقيماته» كانت عبثية. وقد قاد ذلك <گولدن> إلى غايته النهائية، وهي أن طريقة <كاڤالييري> كانت مؤسسة على إيجاد نسبة بين جميع مستقيمات شكلٍ وجميع مستقيمات شكلٍ آخر. لكن <گولدن> كان يؤكد باستمرار أن كلتا مجموعتي المستقيمات غير منتهية. وأن نسبة لا نهاية إلى لا نهاية أخرى لا معنى لها. وبصرف النظر عن عدد مرات ضرب عدد غير منته من المقادير غير القسومة، فلن يتجاوز حاصل ضربها عددا لا نهائيا مختلفا من المقادير غير القسومة.
 

وعموما، كان نقد <گولدن> لأسلوب <كاڤالييري> يجسد المبادئ الأساسية للرياضيات الجزويتية Jesuit mathematics. فقد كان مؤسس الرياضيات الجزويتية التقليدية <C. كلاڤيوس>، والذين أتوا من بعده، يؤمنون بأن الرياضيات يجب أن تتطور بسلوك طريقة استنتاجية منهجية، تبدأ بمسلّمات postulates بسيطة، ثم ترتقي إلى مبرهنات تتزايد تعقيدا، لتصف علاقات عامة وشاملة بين الأشكال. وكانت البراهين الاستنتاجية تجسيدا دقيقا لهذه الفكرة. وقد ولّدت هذه الطريقة منطقا رياضياتيا هرميا صارما مَثّل للجزويتيين السبب الرئيسي لدفعهم إلى دراسة هذا الحقل: فقد بَيّن كيف أن مبادئ مجردة، لدى إخضاعها لأسلوب استنتاجي منهجي، يمكنها بناء عالم منطقي وعقلاني حقائقهُ شاملة ولا سبيل إلى تحدي صحتها. وقد أكد <كلاڤيوس> أن الهندسة الإقليدية، لهذا السبب، عِلم أقرب إلى المثاليات الجزويتية المتعلقة بالحتمية، والتسلسل الهرمي والنظام من أي علم آخر. ويبين ذلك أن إصرار <گولدن> على البراهين الاستنتاجية لم يكن حذلقة أو ضيقا في أفق التفكير، كما كان يظن <كاڤالييري> وأصدقاؤه، بل كان تعبيرا عن إيمان راسخ بنظامه.
 

كان هذا نفسه صحيحا فيما يتعلق بنقد <گولدن> لتقسيم المستويات والأشياء الثلاثية الأبعاد إلى جمع من المستقيمات(6) وجمع من المستويات(7). فلا يجب على الرياضيات أن تكون هرمية التسلسل واستنتاجية فقط، بل أيضا عقلانية تماما وخالية من التناقض. لكن الأشياء غير القسومة التي أوردها <كاڤالييري>، كانت من وجهة نظر <گولدن>، غير متماسكة ومتنافرة في جوهرها لأن الفكرة، التي تذهب إلى أن المتصل continuum مكوّن من أشياء غير قسومة، لم تصمد أمام ما يقبل به العقل. وقد قال بصوت مُدوٍّ: «إن الأشياء غير الموجودة، والتي لا يمكن أن يكون لها وجود، لا تمكن مقارنة بعضها ببعض. لذا، فليس من الغريب أن تؤدي إلى تناقضات ومفارقات، ويتبين في نهاية المطاف أنها خاطئة.»
 

لقد كانت الرياضيات التي تستعمل طريقة الأشياء غير القسومة أسوأ بكثير من عدم وجود رياضيات مطلقا. فالغرض من الرياضيات هو تقديم نظام واستقرار متميزين إلى العالم، في حين لم تُخَلِّفْ طريقة الأشياء غير القسومة إلا الفوضى والشواش chaos. فلو حاز هذا النظام الذي يعتريه الخلل على القبول، فلن يتسنى للرياضيات أن تظل الأساس لنظام عقلاني أبدي. وإلى ذلك، فإن حِلم الجزويتيين بعالم يسوده تسلسل هرمي لا يمكن تحديه كحقائق الهندسة، محكوم عليه بالإخفاق.
 

هذا، ولم يورد <گولدن> في كتاباته الدواعي الفلسفية الأكثر عمقا لرفضه الأشياء غير القسومة، كما لم يفعل ذلك عالما الرياضيات الجزويتيان <M. بتيني> و <A. تاكيه> اللذان هاجما أيضا طريقة <كاڤالييري>. وفي إحدى المراحل، اقترب <گولدن> من الإقرار بوجود مواضيع معرضة للخطر وهي أهم من المواضيع الرياضياتية الصرفة، وكتب بطريقة مشفرة: «أنا لا أظن أن طريقة الأشياء غير القسومة يجب رفضها لأسباب يجب كتمانها بصمت غير مناسب أبدا.» لكنه لم يقدم تفسيرا لما يعنيه بقوله «لأسباب يجب كتمانها.» وبوصفهم علماء رياضيات، كان لدى ثلاثتهم مهمة التصدي للأشياء غير القسومة بناء على أسس رياضياتية، لا فلسفية أو دينية. والواقع أن صِدقيتهم الرياضياتية ستهتز إن هم أعلنوا أنهم كانوا مدفوعين باعتبارات لاهوتية أو فلسفية.
 

لقد كان المنخرطون في النزاع المتعلق بالأشياء غير القسومة يعرفون بالطبع ما الذي كان معرضا للخطر حقا، هذا ما ألمح إليه <d .S. أنجيلي>، وهو عالم رياضيات جزويتي، وذلك عندما كتب بروح فكهة أنه لم يكن يعرف «أي روح» كانت تحرك علماء الرياضيات الجزويتيين. وباستثناءات قليلة جدا، ظل الجدل رياضياتيا، وكان نقاشا بين مهنيين مدربين جيدا يدور حول الإجراءات التي يمكن قبولها في الرياضيات.
 

وعندما واجه <كاڤالييري> انتقادات <گولدن> أول مرة عام 1642، بدأ العمل مباشرة بإعداد تفنيد مفصل لها. وكان ينوي في البداية الرد على <گولدن> بإجراء حوار بين صديقين، وهذا أسلوب كان يحبذه معلمه <G. گاليلي>(8). بيد أنه عندما أطلع <G. روكا> على نيته، وهو صديق ومتخصص في الرياضيات، عارض <روكا> ذلك، إذ رأى أن من الأفضل البقاء بعيدا عن الحوار الحامي الوطيس، الذي قد يثير سخط مناوئيه الأقوياء، وارتأى <روكا> أن من الأفضل كثيرا كتابة جواب مباشر يَردّ فيه على اتهامات <گولدن>، ويركز فيه بدقة على القضايا الرياضياتية، بحيث ينأى بنفسه عن استفزاز <گاليلي>. ومـا لـم يقـلـه <روكـا> هو أن <كـاڤالييري> لـم يورد في كتاباته جميعها أي تلميح إلى عبقرية <گاليلي> بصفته كاتبا، ولا إلى قدرته على تقديم الموضوعات المعقدة بأسلوب يتسم بالطرافة والمتعة. ومن المحتمل أن يكون أفضل ما فعله <كاڤالييري> هو أنه عمل بنصيحة صديقه، وهذا أغنانا عن «حوار» مضجر يمكن وصفه بأنه نثر ثقيل يصعب فك مغالقه. وبدلا من ذلك، فقد كان جواب <كاڤالييري> لـ<گولدن> مُتضمنّا في «التمرين» Exercise الثالث من كتابه الأخير عن الأشياء غير القسومة، وهو Exercitationes Geometricae Sex، الذي نشر عام 1647 وقد وُضِع له عنوان بسيط هو In Guldinum (أي ضد <گولدن>).
 

لم يبدُ على <كاڤالييري> انزعاج مفرط من نقد <گولدن>. فقد أنكر أنه أكد أن المتصل مكون من عدد لا منته من أجزاء غير قسومة، وحاج في أن طريقته لم تعتمد على هذا الافتراض. فإذا آمنا بأن المتصل مؤلف من أجزاء غير قسومة، فعندئذ نقبل بأن جميع المستقيمات معا يُجْمَعُ بعضها إلى بعض لتُكَوِّن سطحا، وأن جميع المستويات تُجمع لتكوّن حجما، غير أنه إذا لم نقبل بأن المستقيمات تُؤلف سطحا، فلا ريب في وجود شيء ما هناك - إضافة إلى المستقيمات - لتشكيل السطح، ووجود شيء ما إضافة إلى المستويات لتكوين حجم. وقد أكد أن هذا كله لا صلة له بطريقة الأشياء غير القسومة التي تقارن جميعَ مستقيمات أو جميعَ مستويات شكل بجميع مستقيمات أو بجميع مستويات شكل آخر، بصرف النظر عما إذا كانت حقا تؤلف الشكل.
 

ربما كانت حجة <كاڤالييري> هذه مقبولة تقنيا، لكنها كانت مُخادِعة وماكِرة أيضا. فكل من قَرَأ كتابه Geometria Indivisibilibus أو كتابه Exercitationes لن يشك البتـة في أنهما كانا مبنييّن على الحدس الأساسي بأن المتصل مكون من أشياء غير قسومة. فقد كان <گولدن> مصيبا تماما عندما طلب استجواب <كاڤالييري> فيما يتعلق بآرائه في المتصل ويبدو أن دفاع الجزواتي Jesuat لم يكن سوى عذر واهٍ.
 

لم يكن رد <كاڤالييري> على إلحاح <گولدن> بأنه «لا يوجد للشيء اللامنتهي تناسبٌ أو نسبةٌ مع شيء لا منته آخر» أكثر إقناعا. فقد كان يفرق بين نمطين من اللانهاية، إذ رأى عدم وجود نسبة حقا بين لا نهاية مطلقة absolute infinity ولا نهاية مطلقة أخرى، لكن جميع المستقيمات وجميع المستويات ليس لانهاية مطلقة بل لانهاية نسبية relative infinity. ومن ثم حاجّ في أن هذا النمط من اللانهاية يمكن أن تكون له، بل له فعلا، نسبةٌ إلى لانهاية نسبية أخرى. وكما في السابق، بدا أن <كاڤالييري> يدافع عن طريقته على أسس تقنية مبهمة ربما كانت مقبولة أو غير مقبولة لأنداده من علماء الرياضيات. ومهما يكن من أمر، فإن حجته لم تكن لها علاقة بالمحرّض الحقيقي للدفاع عن طريقة الأشياء غير القسومة.
 

يرى الجزويتيون Jesuits أن الغرض من الرياضيات هو التوصل إلى بناء رياضياتي لعالَم لا يطرأ عليه أبدا أي تغيير. أما <كاڤالييري> الجزواتي، فكان يرى عكس ذلك.

وقد أصبح هذا الدافع معروفا من خلال إجابة <كاڤالييري> على اتهام <گولدن> بأنه لم ينشئ construct أشكاله بطريقة سليمة، وهنا نفد صبر <كاڤالييري>. وكان <گولدن> قد ادعى أن كل شكل وزاوية ومستقيم في برهان رياضياتي يجب أن يُنشأ بعناية من المبادئ الأولى؛ لكن <كاڤالييري> أنكر ذلك بشدة، إذ كتب يقول: «كي يكون برهانٌ صحيحا، فليس من الضروري أن نقوم برسم هذه الأشكال المتشابهة، لكن يكفي الافتراض بأنه جرى رسمها ذهنيا.»
 

وهنا يتجلى الفرق الحقيقي بين <گولدن> و<كاڤالييري>، بين الجزويتيين ومؤيدي الأشياء غير القسومة. وفيما يتعلق بالجزويتيين، فإن الغرض الذي كان يسعى إليه علماء الرياضيات هو أن يبيّنوا أن العالم هو مكان ثابت غير متغير إلى الأبد، ونظامه وتسلسله الهرمي لا يمكن تحديهما مطلقا. وهذا هو السبب في أن كل شيء في العالم يجب أن يكون قد أنشئ بدقة وعقلانية، وفي أن أي تناقض أو مفارقة، مهما كانت ضآلته، لن يُسمح به إطلاقا. وكانت رياضيات الجزويتيين تبدأ بالأفكار العامة ثم إلى تفصيلاتها، وكان الغرض منها إدخال العقلانية والنظام، وإلا لكان العالم شواشيا.
 

وفيما يتعلق بـ<كاڤالييري> ومؤيدي فكرة اللاقسومية، فكان الوضع معاكسا تماما: فالرياضيات عندهم تبدأ من تصور حدسي مادي للعالم - فالأشكال المستوية مكونة من مستقيمات، والحجوم من مستويات، تماما مثلما يكون القماش محاكا من خيوط، والكتاب مجمعا من صفحات، ولم يكن الإنسان في حاجة إلى إنشاء مثل هذه الأشكال، لأننا جميعا نعرف أنها موجودة في العالم. وكل ما نحن بحاجة إليه هو القبول بوجودها ثم دراسة بناها الداخلية. فإذا واجهنا تناقضات أو مفارقات ظاهرية، فمن المحتم أن تكون سطحية، وناتجة من فهمنا المحدود، ومن الممكن إما تبيان عدم أهميتها، أو استعمالها بوصفها أداة للبحث والدراسة. بيد أنه لا يجب البتة أن توقف مسيرتنا لاستيعاب البنية الداخلية للأشكال الهندسية والعلاقات المستترة بينها.
 

ويرى علماء الرياضيات الكلاسيكيون من أمثال <گولدن>، أن الفكرة القائلة إن بمقدورك بناء رياضيات على حدس غامض ومتناقض، هي فكرة سخيفة. وقد طرح <گولدن> على <كاڤالييري> السؤال الساخر الآتي: «من الذي سيبت في صحة إنشاء هندسي، أ هو اليد أم العين أم العقل؟» وكان <كاڤالييري> يظن أن إصرار <گولدن> على تحاشي التناقضات هو تحذلق تافه، إذ إن الكل يعرف أن الأشكال كانت موجودة فعلا ولا معنى للجدل بأنها لم تكن كذلك. وهذه العادة في الإسفاف في تتبع أخطاء بسيطة للآخرين(9) قد تكون لها، كما يرى <كاڤالييري>، عواقب وخيمة. فإذا فاز <گولدن>، فسيضيع أسلوب فعال، وسيضر ذلك بالرياضيات نفسها.
 

  مراجع للاستزادة

The Discovery of Infinitesimal Calculus. H. W. Turnbull in Nature, Vol. 167, pages 1048–1050;
June 30, 1951.
Exploration Mathematics: The Rhetoric of Discovery and the Rise of Infinitesimal Methods.
Amir R. Alexander in Configurations, Vol. 9, No. 1, pages 1–36;Winter 2001.
The Skeleton in the Closet: Should Historians of Science Care about the History of
Mathematics? Amir Alexander in Isis, Vol. 102, No. 3, pages 475–480; September 2011.

(*)THE SECRET SPIRITUAL HISTORY OF CALCULUS

(1) calculus هنا: حساب التكامل ويطلق حسبان على حساب التكامل والتفاضل.
(2) أو: طريقة اللاقسوميات، أو غير القابلة للقسمة.
(3) يطلق على أتباع إحداهما: jesuits = جزويتيين وعلى أتباع الأخرى Jesuats = جزواتيين، ولهما تهجئتان متشابهتان لاسميهما: جزويتي jesuit وجزواتي jesuat.

(4) parabolas

(5) spirals
(6) all the lines

(7) all the planes

(8) Galileo Galilei

(9) nitpicking

 (العلوم النسخة العربية)